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于抒冉:我们现在邀请一下北京新东方非常优秀的数学老师周洋鑫老师,来给大家进行今天上午的考研数学的第一轮解析,有请周洋鑫老师。
周洋鑫:接下来我们解析一下2020年考研数学,总体难度系数来说,今天还是比较难的,今天结束的时候我收到很多同学的私信,就觉得是今天的难度系数有点大,感觉到自己上午快坚持不下去了,下午都不想去考了。
怎么讲呢?每年的这个考试既然难,都难,最后的话只要你能稳定的走到考场的最后的结束,我相信就是一种很大的成功。那比如说之前的2016年那次考试,他们上午的话这个数学考的就非常难,你看到下午,只要你坚持下去,最后的话很多同学还是步入了最后的研究生当中。接下来,我们首先对今天数学的考试做一个解析,首先做一下自我的介绍,我叫周洋鑫,北京新东方的无忧集训营主要的考研数学老师。接下来,今天我主要是对今天上午的线性代数和概论部分内容做一个具体的解析,首先我们看一下线性代数部分。
总的来说,今天的线性代数部分内容稍微的难度系数有一点偏,尤其体现在大题。最终的话我们看一下,在介绍的过程中我们一般情况下跟大家说,线性代数最终的六个考点,每一次在最后总共的34分。包括两个选择题,加上一个填空题,再加上两个大题,基本上每年都非常的稳定,基本上都是出现一个方程组,还有一个在特征值和二次型,但是今年的话比较奇葩。接下来的这两个大题都基本上出现在特征值和二次型,造成很多同学如果基础没有复习特别好的同学,最后这个很多同学做不完这个最后的大题,导致很多同学觉得考研大题的难度系数稍微大一点,这是很正常的事情。
所以,今天这次直播课最觉得应该是对2021年同学们进行一次指导,将来的话我们在明年的这场考试当中后续怎么去复习, 2020年的同学,你听不听都无所谓,这个考的压力很大,接下来你自己下去稍微的放松一下,我觉得效果还比较好。接下来我们说一下今天考试的一些题目,那有没有简单题呢,有。你比如看一下这个题。
这是数一的第五题,你比如说这个题,这个矩阵经过初等列变换,到达这样的一个B矩阵,有四个选项,比如说A选项,像这种类型的问题就比较好说,比如说存在一个可逆矩阵,给这个人左乘,左乘很明显是行变换,这就不对。这个题的话你会发现,既然A进行裂变化到达A,那B肯定裂变化到达A。此时我们会发现,给这个矩阵应该是写的问题,这是A矩阵经过一个什么东西,乘上一个,又乘上一个矩阵,得到B。此时同学们注意一下,如果你把它乘过来就是BP1等于A,这个题应该是存在一个可逆矩阵,这个题答案应该是B选项。
再看下一个题,这个题的基础水平也不高,最重要的问题每年都会考,基本上核心的重点就是考了一个伴随矩阵的问题,考了一个方程组通解,今年把这个方程组通解放到了一个小题当中进行考察,很多人觉得难度系数稍微大一点,其实这个题我们在往年的真题当中已经出现过,具体考察了抽象型这种方程组的求解性问题。这个题怎么进行处理呢?关于这个不可逆的问题,此时我们就知道这个矩阵肯定不满秩,那它的秩一般情况下它就小于等于四,这个代数余子式有一个不为0。
我们都知道如果A的秩小于等于4,小于4的话,它的伴随矩阵的秩,基本上我们就知道了,它要么是1要么是0。然而这个有一个代数余子式不为0,就等于1,那它等于1的话我们就知道这个人的其四线性方程组的基础解析个数就等于4减1,就等于3个。这个情况我们ABCD四个选项是排除不了的,接下来就要靠一个问题了,我们得找到三个线性无关的解,而我们又知道,A的伴随乘上A,等于A的行列式乘上这个单位阵,此时我们都知道它不可逆,那这个时候它的行列式必定就等于0。而考到AB等于0,那A的列向量组均为A的伴随X=0的解,接下去挑就行了,挑出那线性无关的,这个题就突破了。
那这个题的难度系数跟我们往年的一些考研题的相似点非常的高。比如下面这个题,这个题考的难度系数也不大,基本上考的是相似对角化问题,今年这个点考的有点多,过于偏了。大题出了两道,小题还出一道,就是说明一个什么问题呢?其实核心重点的话在出题人的这个角度上要求大家的基础能力要达到一个非常标准的能力。最近几年它的难度系数慢慢的一点一点增加,也跟考研人数变多有关系,所以希望同学们在今年,尤其是2021年同学在复习的过程中要注意一下,加把劲儿,自己在基础的过程中多努力一点,把基础打好,这是个很重要的事情。
像这个题,考了个对角化问题,我们都知道,对角化的结果是由特征值组成,让它对角化的一个矩阵由特征向量组成,此时第一列是1,第二列是-1的,第三列是1的,此时我们就知道这个特征向量第一列P,第一列前是我们的1的特征向量,第二列选择-1的,第三列选择1的,这时你去找特征向量就可以。
有没有难题?有,数一的这个题难度系数还是稍微的大一点,这个题很多同学在做题的过程中操作思路没有操作出来,题干是直线方程它以点线性形式给你,那这个题我们应该把它化成参数形式的形式,只要化成了参数,然后让它们相等,这时这种类型的题操作起来就比较简单了,变成了一个非线方程组,那非线方程组有解,注意的是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,这样的话这个问题就解决了。
还有一个题,我们来看看这个填空题,这个填空题其实考研的档次感的话稍微的要弱化一点,基本上的核心点就那样,这个题应该是每列加起来是相等的,那就把它加到第一行,然后再提出公因子,然后再去操作,很普通。我们最核心的问题来看这个大题,最核心的问题是这个大题的解析过程。
今年这个题目很多同学在考场当中就感觉到是这一年的线性代数白复习了这种感觉,基本上这个核心点考了一个正交变换法,很多同学看到这个正交变换都会感觉到,最后这个结果肯定是一个标准型,结果发现一件事情,前面是个非标准型,后面也是个非标准型,很多同学就在考场中就不知道怎么去处理了,很多同学就是没有打好基础。
其实我们都知道一件事情,我们在第六章当中学的最重要问题其实就是合同问题,那既然是合同问题,它们两个经过正交变换得到它,此时就存在一个正交阵,使得这个式子成立,正交阵的转置式等于它的逆矩阵,那既然是合同,而且它也相似,那我们再列个行列式就出来了。
那么其中待定参量出来的之后,这个问题其实求解起来就不难,第二问的话难度系数就不大。接下来我们再来看下面这个题,这个题很多同学在考场当中做题点还是没有处理的很清楚,因为它偏常规了。我们这么多年考研题,基本上核心重点都是一道二次型或者特征值,一道我们方程组的求解,结果发现一件事情,两道题基本上都核心重点都在考察这个相似对角化的核心重点,造成很多同学把这个知识点方面没有捋清楚,这就很影响大家在考场当中的发挥,所以大家注意一下这个事情,我们在学习的过程中,还是注重基础把大纲当中的每一个考点细致的学,认认真真来。
这个题我们来说一下,它说这个α不是A的特征向量,那既然不是A的特征向量,那说明Aα就不会等于λα,注意这个α不一定。
我们在做题的过程中,我们就要利用这个条件,大家知道这个人就不会等于λα,说明这两个人不会成为共线的问题,它们不成比例也就不共线。此时我们就知道一件事情,这个列向量必定是什么?线性相关的,我们就要去证明这个事情。这个题我们有两种操作,要么用秩要么用第一,很明显这种类型问题,这个题更加适合做运算,是定义法往往会更加的简单。像这个类型问题,就你把第一问突破了,可能才有,更加有信心的去处理第二问,第二问的难度系数其实不是特别大。
第二问的话我们把这个事情解出来,大家一定要注意一个事情,就是一个矩阵乘上一个向量,它是一个向量,你要注意一个这个结果,一个矩阵乘一个向量是个向量。摆到一起,然后操作一下这个类型的题,不太难。那么最核心问题,这个题考的稍微的巧妙一点,造成很多同学在做题的过程中,就会觉得这个问题百出,就感觉到这个事情难度系数偏大一点。考察的最核心问题还是基础,这是我们线性代数内容的一个复习。
那么接下来我们再给大家说一下后面的概论与数理统计板块,那么今年的话这个数理统计,这其实考的还是中规中矩,但是有一个核心点,其实往年的话我们都知道第五章大数定理和中心极限定理其实是一个很普通很简单的一个事情,但是今年的话在这个板块考了一个点,很多同学做不出来。我们经常跟同学们讲,我们说大数定理和中心极限定理,你需要记核心内容吗?根本不需要,你需要记它是切比雪夫,什么辛钦大数定律,什么列维林德伯格中心极限定律,根本不需要。我们最核心做的事情就是你要了解中心极限定理讲了一个什么事情?大数定理内容核心点突出了一个什么思想?这很重要。
那么中心极限定理说了个什么事呢,以后我们通过具体的题目我们再给大家谈一下。还有个考点考的还是很常规,在这一章当中有一个非常重要的考点,就是我们的一维随机变量函数的分布,而且是连续性问题的一个操作,这是我们在考研当中考的比较多的,那么其余考的还是比较稳。这个倒数第二个大题基本上考的是二维的随机变量的函数的分布,那么数一同学考了一个离散,一个连续。数二同学,数三同学考了什么?考了双离散的问题,还有基本上考的参数估计,矩估计和最大似然估计依然是每年的重点,核心点没有跑偏,那这是今年的考题。那么这个事情照样考了一道4分的小题,所以这个事情在我们的基础班,在我们的这个之前的一个规划当中或者跟同学们在开始学习的过程中强调的是事情是没有变化特别大,所以说大家注意一下这个事情没有偏太多我们来看具体的题目。
比如说个题,考察了我们第一章随机事件及其概率的问题,那么这个题考了什么东西?它恰好有一个人发生概率,这个题目的难度系数不是大。具体我们再看下面一个部分,就是说在这个题目当中可能会觉得有点难度,这是我刚才讲的中心极限定理,中心极限定理讲了一个核心问题叫独立同分布的量的的加和服从正态分布,你可以看出来,这些人都来自总体的简单随机样本,什么叫简单随机样本?就是独立且于总体同分布。那么这些人的加和一定会符合我们的正态分布。
那么既然是正态分布第一个位置肯定填的是期望,第二个位置填的是它的方差,把这个具体的问题填出来,那么这个事情就出来了,产生把这个人进行标准化操作一下,这个题难度系数不是特别大,那这个题的答案最后我们选择的是B选项。我相信这个可能很多同学在复习的过程中,忘掉了这个考点的复习,就会造成了很多同学这个题目的操作感就会变得不强。
那么今年的话,还经常跟同学们提到的一个切比雪夫不等式,结果最后没有考,那么给2021年考研同学一个指引,同学们在复习的过程中,要注意一下,每一个细致的考点,一定要核心重点都要把它把握到。那么接下来我们再来看下面这个题,这个题目就是我们刚才说的叫做一维连续性随机变量函数的分布,考的还是非常常规,然后再加了第二问,考了它们之间的协方差,其实核心重点还是考了这个事情,它的概率密度函数操作出来,那么事情就不太难了。
大题很多同学就会觉得这个题考的还挺变态的,怎么讲呢?它它说这个X1、X2、X3相互独立,前面那个服从标准正态分布,第三个人服从01分布这个事情。然后话说给了一个Y,Y是什么事情呢?得由他们组合而成,我们经常跟同学们讲,考了二维随机变量的时候一定要去首先去判定题型,比如说这两个人肯定就是离散型,比如说我们这个X3就是一个什么?这个是离散型,比如说我们这个人就是个连续型。一个离散,一个连续,我们使用分布函数法然后进行处理,加上全概率公式,第一问的难度系数就可以操作出来。这个题其实看起来吓人,但是你做出来你感觉还是挺简单。
然后我们再来看一下下面这个题目的操作,数三考的话基本上考了个什么?叫做双离散的问题,这种题好多年都没有考了,今年又把它突出来进行去考察一下,考察这个分布就画表就行了,画完表了之后的话,再去求它们的相关系数,难度系数不太大,所以这个题我们今年的概率论的梳理统计部分内容考的还是中规中矩,如说最后这个题非常常规,考了这一年,学了这一年,一直都在做,一直都在学,就是考了一个最大似然估计,每年都最后的时候,跟同学们讲什么,提前先看一看操作一下,把它这个思路点再捋捋一,其实我们都是为了这个事情服务的,考的非常的常规,基本上这个题的难度系数不大。
我们都知道,第一问我们怎么办?去设自然函数,去对数,再求导,做的非常常规,所以这个题的难度系数我相信很多同学是能够把这个分拿到手的。所以对于我们2021年同学今年在复习过程中,大家要注意一下,怎么去通过去2020年你的学长学姐们的考试给得到一些启发,后续的课程怎么进行下去?尤其是今年的寒假,你至少把高等数学的上册部分的基础部分内容给搞定,然后明年的话依次进行下册线性代数和概率的复习,保质保量的把基础班的内容好好的做。
其实我们回到最最后的一些事情,都是在围绕着我们基础做了一系列的操作,我希望同学们认认真真来打好基础,迎接明年的考研。对于2020年的同学考完了之后的话,你就可以去休息了,放松一点然后毕竟努力了一年,辛苦了一年,到最后啊我们还是放松一点,轻松一点,考成什么样子过程很重要,结果不要太强求。希望2021年同学,加把劲,努力一点,明年的话这场考试又是一场硬仗,希望同学们在基础班的时候就打好基础。
其实今天的考研对很多同学的话,难度系数大一点,考的比较有挫败感一点,其实没有关系,难的时候都难,相信大家最后都能取得一个比较好的成绩。
【解析教师】周洋鑫
【解析科目】2020考研线性代数/概率解析
【解析时间】12月22日11:30-12:15
【教师简介】
新东方教育科技集团优秀教师,数学学科带头人,工学博士,考研数学阅卷人。精通高数/线代/概率全科教学,既对现有考研真题讲解透彻,也能对未来考试趋势做预测,是北京新东方最受欢迎的数学科目明星教师。
(责任编辑:兰香子)