下面是由小编为您提供的部分内容，更多详细内容欢迎大家观看新东方考研官网，如有任何疑问，可联系客服老师咨询。考研数学中，极限题是核心题型，其考察形式灵活多变，既涉及基础计算，也关联导数、级数等高阶内容。本文结合近年命题趋势，梳理极限题的常见类型与解题策略，并针对“分段函数极限”“渐近线计算”“极限与连续性证明”等高频考点，提供分步解析与实战技巧，助力考生突破思维瓶颈。

一、极限题为何成为“必争之地”？
在考研数学 大纲中，极限是贯穿高等数学的主线。无论是求函数在某点的极限值，还是通过极限定义判断连续性、可导性，亦或是利用极限工具解决级数敛散性问题，其应用场景几乎覆盖所有章节。近年来，命题人更倾向于将极限与中值定理、泰勒展开等知识点结合，形成综合性更强的题目。例如，2024年数学一真题中，一道结合洛必达法则与泰勒公式的极限题，让不少考生折戟沉沙。

二、极限题的三大核心类型与解题框架

基础计算类：方法选择是关键
此类题目通常给出显式函数，要求计算某点极限。解题时需优先判断是否适用等价无穷小替换、洛必达法则或泰勒展开。例如，对于形如 limx→0​x3sinx−x​ 的题目，直接使用洛必达法则可能陷入循环，而通过泰勒展开 sinx=x−6x3​+o(x3) 可快速得出结果。
技巧：建立“等价无穷小替换表”，熟记 sinx∼x, ex−1∼x, ln(1+x)∼x 等常用替换，避免重复推导。
分段函数极限：定义域分析是核心
分段函数在分段点处的极限需分别计算左极限与右极限，并判断是否相等。例如，函数 f(x)={x2,2x,​x≥0x<0​ 在 x=0 处的极限需计算 limx→0+​x2=0 与 limx→0−​2x=0，两者相等则极限存在。
易错点：忽略分段点定义，直接代入函数表达式；未验证左右极限是否一致。
渐近线计算：极限与几何的结合
水平渐近线需计算 limx→∞​f(x)，垂直渐近线需寻找使分母为零的点并验证极限是否为无穷大。例如，函数 f(x)=x−1lnx​ 在 x→1 时，分母趋近于0而分子趋近于0，需通过洛必达法则判断极限是否为无穷大。
技巧：绘制函数草图辅助理解，避免仅依赖代数计算。
三、极限与连续性证明：逻辑链的构建
命题人常通过极限定义考察函数连续性或可导性的证明。例如，证明函数 f(x)={xsinx1​,0,​x=0x=0​ 在 x=0 处连续，需验证 limx→0​xsinx1​=0。此处可通过夹逼定理，因 ∣xsinx1​∣≤∣x∣，而 limx→0​∣x∣=0，故原极限为0。
关键步骤：明确证明目标（连续性需验证极限值等于函数值，可导性需验证导数定义式极限存在），并选择合适的定理构建逻辑链。

四、实战演练：2024年真题解析
题目：求 limx→0​x2ex−1−x​。
解析：

直接代入得 00​ 型未定式，适用洛必达法则。
对分子分母分别求导：limx→0​2xex−1​。
再次代入得 00​ 型，继续求导：limx→0​2ex​=21​。
变式训练：若将分母改为 x3，需使用泰勒展开 ex=1+x+2x2​+o(x2)，代入后分子为 2x2​+o(x2)，故极限为 21​。
结束语
极限题的突破需兼顾“方法库”的积累与“逻辑链”的构建。考生应在基础计算中培养方法选择的敏锐度，在证明题中锤炼逻辑推导的严谨性。建议每日练习2-3道极限题，并定期复盘错题，逐步形成“条件反射式”的解题思维。

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